Integrales por partes I

Integración

Integrales por partes

Hola,
Vamos a tratar mediante un video, la resolución de las integrales por partes. Este tipo de integrales se caracteriza porque se compone del producto de dos funciones que no tienen ningún tipo de relación entre ellas, como por ejemplo, un polinomio por un exponencial o una función trigonométrica, o un exponencial por un trigonométrico. Aunque parezca una visión muy simple de este tipo de integrales, el "truco" va bastante bien. Una vez hemos identificado el tipo de integral, pasaremos a resolverla por el método de integración por partes, que podéis ver en el video.
Cuidado, porque en ciertas integrales puede ser necesario, aplicar el método de integración por partes más de una vez, ya que la integral resultante, puede volver a ser una integral por partes.

Núcleo aplicación lineal

Álgebra lineal

Núcleo de una aplicación lineal

Hola a tod@s,
En esta nueva entrada trataremos el cálculo del núcleo de una aplicación lineal. Aunque tenemos una entrada anterior que trata este mismo tema, ahora os colgamos un video con un ejemplo distinto. A diferencia del otro ejemplo, este ejercicio tiene la particularidad que no existen vectores que pertenezcan al núcleo. Lo más importante del ejercicio es ver que no siempre existe núcleo, sino que toda la aplicación puede estar formada por vectores de la imagen de la aplicación.
Para comporbarlo, procedemos igual que el ejemplo anterior, buscando el núcleo resolviendo el sistema homogéneo que forma la matriz de la aplicación. Pero antes de nada, debemos comprobar que tipo de sistema es. Si se trata de un sistema compatible determinado, no existen vectores del núcleo, ya que el sistema tiene una solución. En cambio, si el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas solucions, y es en este caso donde podemos asegurar que existen vectores que pertenecen al núcleo, ya que matemáticamente, los vectores del núcleo son aquellos vectores linealmente dependientes de la aplicación.
Este tipo de problemas pueden enfocarse desde diferentes puntos de vista, pero siempre llegando al mismo resultado. En el video, no entramos en profundidad en todos los aspectos matemáticos que conlleva el estudio de aplicaciones lineales, sino que explica uno de los procedimientos para encontrar los vectores del núcleo y en primera instancia saber si existe o no núcleo de la aplicación.

Gracias

Integrales inmediatas (y IV)

Integración

Integrales inmediatas

Para fnalizar con el capítulo de las integrales inmediatas os hemos colgado un video donde se resuelve otra integral inmediata, pero en este caso, aparece un exponencial con un polinomio. Como veréis, la filosofía de resolución es la misma. Tenemos las dos opciones, cambio de variable o transformando sabiendo de antemano de que función deriva. Como en los otros videos, hemos puesto las dos opciones, ya que siendo ambas válidas, se deja al alumno escoger aquella en la que se encuentre más seguro.

Esperamos que os sea de utilidad y gracias!

Sólido rígido

Física

Sólido rígido

Hola a tod@s,
Trataremos de introducir el concepto de sólido rígdo e incluimos un video con un sencillo problema para que veáis como se resuelven este tipo de problemas.
En esencia un problema de sólido rígido consiste en un cuerpo que gira pero no desliza. ¿Qué quiere decir esto?. El cuerpo no desliza como si se tratara de una caja cayendo por un plano inclinado, sino que gira y avanza mientras gira. Al introducir un cuerpo que gira, es necesario entender elconcepto de momento de una fuerza. El momento de una fuerza se define como la fuerza multiplicada por la distancia. Esta sencilla fórmula nos permite explicar el giro de una puerta, ya que este producto se trata de un producto vectorial, que da como resultado un nuevo vector perpendicular a los dos vectores del producto. El momento de una fuerza siempre origina un movimiento circular. Pensemos en una puerta, ya que al tirar de ella realizamos una fuerza que multiplicada por la distancia que nos lleva a la bisagra, hace que la puerta "gire" y por tanto se abra o cierre.
Pues bien, todos los problemas de sólido rígido pasan por la aplicación de conservación de momentos. Esto quiere decir que tal y como se conservaba la fuerza según la segunda ley de Newton, los momentos de las fuerzas también se conservan según la expresión:

Siendo M el momento de las fuerzas, I el momento de inercia del cuerpo que se desliza y alfa la aceleración angular de giro del cuerpo.
El momento de inercia es una expresión o valor que depende de la forma del cuerpo y de la distribución de masa, pero por lo general siempre se tratarán cuerpos geométricos con expresiones del momento de inercia conocidos, como el cilindro, esfera, barra.....
La manera de resolver este tipo de problemas es idéntica a cualquier tipo de problema de dinámica, a diferencia de que tendremos que introducir la suma de momentos a la suma de fuerzas de la segunda ley de Newton.
Os dejamos un video donde se explica como resolver un problema sencillo de este ripo. Consiste en un cilindro que se desliza por un plano inclinado.

Esperamos que os sea de utilidad!!!!
Gracias.

Integral inmediata III (raíces)

Integración

Cálculo de una integral inmediata con raíces

Hola a tod@s,
En esta entrada tenéis un video de como resolver integrales inmediatas donde aparecen raíces en el denominador. Estas integrales que aparecen a menudo, se pueden resolver mediante el método de sustitución o conociendo muy bien de que función provienen y realizando las transformaciones necesarias para que lo que tenemos dentro de la integral sea la derivada de una función.
El segundo método requiere mucha práctica pero es más rápido.

Muchas gracias

Integrales inmediatas II

Integración

Resolución de integrales inmediatas

Hola,

Os dejamos un par de videos donde explicamos como resolver integrales inmediatas, donde la solución es del tipo logaritmo neperiano. Como podréis ver, este tipo de integrales pueden resolverse por cambio de variable o directamente haciendo las transformaciones para encontrar el resultado. Pero este segundo método requiere dominio de las derivadas, ya que en este tipo de integrales es necesario ver que el numerador es la derivada del denominador o se le parece. Creo que lo mejor es que veáis los videos donde ponemos diferentes ejemplos para que aprendáis como tratar este tipo de integrales.

Gracias

Fuerza magnética

Fuerza creada por un campo magnético sobre una carga en movimiento

Hola a tod@s,

En esta entrada podéis ver un video donde explicamos como encontrar la fuerza creada por un campo magnético uniforme sobre una carga eléctrica en movimiento. Para encontrar esta fuerza tenemos que usar una expresión que tiene un producto vectorial, y es éste el que nos permite encontrar la dirección y sentido de la fuerza resultante. Para ello, podemos utilizar la regla de la mano derecha con sus multiples variantes (sacacorchos, tornavís...) o como hemos escogido nosotros, hacer el determinante, ya que nos da el valor, dirección y sentido directamente y si multiplicamos por la carga, el valor de la fuerza. Es decir, el producto vectorial da dirección y sentido y si multiplico por la carga el resultado final. Pero lo mejor es que véais el video donde explicamos paso a paso como hacer un problema de este tipo.

Gracias.

Integración (cambio de variable o sustitución)

Integración

Cambio de variable o sustitución

Hola a tod@s,
En esta entrada trataremos la resolución de integrales por el método de cambio de variable o sustitución. Este método de resolución se usa en integrales casi inmediatas o inmediatas para facilitar su resolución. El problema de este método es escoger aquella parte de la integral que sustituiremos por una variable nueva.
Es por ello que os hemos colgado un video donde se resuelve una integral por el método de cambio de variable. Por desgracia, no hay ninguna fórmula que nos permita conocer que parte de la integral sustituiremos. Existe, de todas formas, un pequeño truco para ver el cambio, ya que al hacer el cambio, no solo cambiamos de variable, sino que cambiamos la variable de integración, por lo que en una integral que se resuelve por este método siempre hay una función y su derivada. Os recomiendo que si os encontráis una integral y estáis seguros que se resuelve por este método, buscad dentro de la integral una función y su derivada.

Iremos colgando más ejemplos de este tipo de integrales, ya que son las más compicadas de resolver, ya que lo difícil es encontrar que parte de la integral se debe sustituir.

Integrales inmediatas

Integrales inmediatas

Hola,

En esta entrada introducimos el concepto de integral inmediata, así como la resolución de integrales de funciones sencillas. Para ello, se ha empezado con las funciones más simples (polinómicas) y se sigue con las exponenciales. En la siguiente entrada, introduciremos las integrales de funciones trigonométricas y el conjunto de integrales inmediatas y su resolución.
La resolución de integrales inmediatas se basa en una tabla parecida a la de las derivadas, pero mientras que en las derivadas se aplicaba la regla a rajatabla, en las integrales tendremos que hacer unas pequeñas transformaciones para poder aplicar la tabla y resolver la integral.

Introducción a la integración

Integración

Introducción y breve descripción

Hola a todos,

Es esta entrada, os propongo que veáis este video donde introducimos el concepto de integral, tipos y en que consiste en concepto de integración.
En las próximas entradas iremos tratando los diferentes tipos de integrales y su resolución.

Repaso derivación

Repaso derivación

Ejercicios resueltos de repaso del tema derivación

Hola a tod@s,

En esta entrada, hemos colgado una recopilación de ejercicios relacionados con el tema de derivación. En concreto, hay un problema de derivabilidad de una función definida a trozos, otro problema de crecimiento-decrecimiento y para finalizar un problema de continuidad, que aunque no esté directamente relacionado con la derivación, recordemos que para que una función sea derivable tiene que cumplir la condición de continuidad.

Los ejercicios están resueltos de la manera más clara posible, sin entrar en disquisiciones matemáticas. Como veréis, en el ejercicio de crecimiento de una función se ha adjuntado el gráfico de la función para que podáis comprobar que el resultado final coincide con el gráfico.
derivabilidad

crecimiento-decrecimiento función

continuidad de una función


Espero que estos ejercicios resumen os sean de utilidad.

Gracias

Continuidad de una función

Continuidad de una función

Ejemplo determinación continuidad de una función con un parámetro

Hola a tod@s,

Aquí tenéis un video con la resolución de un ejemplo del estudio de la continuidad de una función con parámetros. Usualmente, se da una función definida a trozos y que tiene un parámetro y se pide hallar el parámetro para que la función sea continua.
Por muy complicado que pueda verse, sólo es necesario aplicar la condición de continuidad de una función que nos dice que los límites laterales deben ser iguales.
Os dejo el video como ejemplo, que como siempre es directo y claro.

Cálculo vectores propios

Diagonalización de matrices

Cálculo de los vectores propios

Hola a tod@s,

En esta entrada tenéis un video, continuación del anterior de diagonalización, en el que explicamos como encontrar los vectores propios asociados a los valores propios en el proceso de diagonalización.

Aunque podríamos entrar en un formalismo matemático muy estricto, el video va directo a los pasos necesarios para encontrar los vectores propios. Incluiremos una entrada más adelante, en la que sí, incidiremos en la base matemática más estricta del proceso de diagonalización.

Seguro que este video os es de mucha utilidad!

Problema mecánica

Física

Resolución de un problema de mecánica

Hola a tod@s,
En esta entrada colgamos un video con la resolución de un complejo problema de mecánica que consiste en un cuerpo que se desplaza por un semicírculo. Se nos pide calcular su velocidad y fuerza normal, en función del ángulo en el que se encuentre.
Este tipo de problemas, aunque no son muy comunes, acostumbran a aparecer en titulaciones como Física, Química e Ingenierías.
Estoy convencido de que os será de gran utilidad.

Gracias y hasta pronto!

Cinética Enzimática - Linearización de Lineweaver-Burk

Hola a tod@s!

La entrada de hoy va dedicada a Bioquímica, concretamente al estudio de la cinética enzimática, es decir al estudio de la velocidad de las reacciones catalizadas por enzimas.
En cinética enzimática nos interesa ser capaces de determinar dos parámetros: la Km (constante de Michaelis-Menten) y la velocidad máxima de la reacción.
Estos parámetros pueden verse modificados en presencia de inhibidores (competitivos o no competitivos) de la enzima.
Uno de los métodos más empleado para la determinación de los parámetros de interés en cinética enzimática consiste en buscar una relación lineal entre la inversa de la concentración de sustrato y la inversa de la velocidad de la reacción. Este método se conoce como la Linearización de Lineweaver-Burk.
Os dejamos un vídeo con un ejemplo que seguro que os aclarará estos conceptos.
Esperamos que os sea de utilidad.

Indeterminación uno elevado a infinito

Indeterminaciones

Uno elevado a infinito

Hola a tod@s,
En esta entrada os colgamos un documento donde se resuelven los límites que presentan indeterminaciones del tipo uno elevado a infinito.
Recordad que este tipo de indeterminaciones se resuelven mediante la aplicación de las propiedades de logaritmos y en concreto la propiedad de potencias de logaritmos. Como veréis, el documento resuelve paso a paso un ejemplo de este tipo de límites.
Descárgalo aquí

Esperamos que os sea de utilidad,
hasta la próxima.

Diagonalización de matrices, valores propios

Diagonalización de matrices

Polinomio característico y valores propios

La diagonalización de matrices son una serie de operaciones que permiten simplificar una matriz cuadrada de manera que se obtiene una matriz que contiene elementos exclusivamente en su diagonal y el resto ceros.

La utilidad de las matrices diagonales es amplia y va desde la estadística hasta la biología, es por ello la importancia que los alumnos de primer curso sepan en qué consiste la diagonalización de matrices. Aunque el proceso de diagonalización de matrices puede ser largo y tedioso, siempre tiene los mismos pasos, de manera que la complejidad no está en el proceso, sino en los cálculos. 

En esta entrada introduciremos el concepto de matriz diagonal, diagonalización y los primeros pasos en el proceso de diagonalización que incluyen la obtención de los valores propios asociados al polinomio característico.

Una matriz diagonal es aquella matriz cuadrada en la que la todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal principal, que pueden o no ser nulos. 

El primer paso en el proceso de diagonalización es encontrar el polinomio característico y los valores propios asociados a éste. Posteriormente a la obtención de los valores propios tienen que encontrarse los vectores propios. Con los vectores propios se forma una matriz, y si esta matriz es invertible, la matriz original es diagonalizable. Es decir, hasta bien avanzado el proceso de diagonalización, no es posible saber si la matriz es diagonalizable.

Os dejamos este video en el que se explica paso a paso y con dos ejemplos, la obtención del polinomio característico y los valores propios.

En la siguiente entrada explicaremos los pasos que quedan para la diagonalización de la matriz junto con los ejemplos que hemos empezado.

Gracias y hasta la próxima entrada.

Indeterminaciones infinito menos infinito

Indeterminaciones

Infinito menos infinito

Hola a tod@s,

Con esta entrada cerramos el tema de las indeterminaciones, ya que habremos tratado todos los tipos de indeterminaciones. De todas formas, en el blog, iremos haciendo entradas periódicas de ejemplos de los diferentes tipos de indeterminaciones, es decir, no dejaremos el tema, sino que iremos añadiendo ejemplos para no olvidar el tema.

Vamos con la entrada de hoy dedicada a la indeterminación del tipo infinito menos infinito. A diferencia de las indeterminaciones vistas anteriormente, éste tipo de indeterminaciones acostumbran a darse en unos tipos de funciones concretas: las raíces cuadradas. Con esto no queremos decir que siempre aparezcan raices en estas indeterminaciones, pero si, que es lo más común.

La resolución de este tipo de indeterminaciones aprovecha la identidad notable conocida de suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados, es decir:

y para ello es necesario utilizar el concepto de conjugado, ya que la expresión a la que buscamos el límite, deberemos multiplicarla y dividirla por "algo" que nos permita aplicar la identidad notable anterior. Y "esto" es lo que llamamos el conjugado. Para entender el conjugado, os emplazo a que recordéis el concepto de conjugado de una raiz, que utilizábamos para eliminar la raiz de un denominador. Pues bien, recordar que para una expresión del tipo a+b, su conjugado es la expresión a-b y al revés, para una expresión a-b, su conjugado es a-b.

Lo más cómodo será que veáis el video que hemos colgado, donde explicamos paso a paso como resolver un ejemplo de este tipo de indeterminaciones.

 Gracias y espero que os sea de utilidad!

Indeterminaciones 0 elevado a 0

Indeterminaciones

0 elevado a 0

Hola a todos,
Entrada donde tenéis un video de cómo resolver las indeterminaciones de 0 elevado a 0. No hace falta ningún comentario, ya que el video lo explica por sí sólo, con todos los pasos para la resolución de un ejemplo completo.
Como advertencia, deciros que quizás lo más importante es el paso final, donde resolvemos el límite como tal, ya que los pasos resuelven el logaritmo del límite, pero es la formas más cómoda de resolución.

Gracias

Gravitación (ejemplo de aplicación)

Ley de gravitación de Newton

Ejemplo de aplicación a un sistema planetario

Hola a tod@s,
En esta nueva entrada introduciremos el tema de gravitación. Este tema se basa en la ley de gravitación de Newton, que nos da información sobre la interacción gravitatoria entre cuerpos. Esta ley es usada en sistemas planetarios y en el fenómeno de las mareas. Uno de los campos de aplicación de esta ley, es la puesta en órbita de satélites, ya que la órbita, velocidad y trayectoria vienen dadas por esta ley.
Os hemos puesto un video con un ejemplo de aplicación de la ley de gravitación, que estamos convencidos que aclarará muchas dudas y conceptos.

Gracias y hasta la próxima

Dominio de una función

Dominio de una función

Hola,
En esta entrada tenéis un video donde explica com encontrar el dominio de una función. Éste, es el primer paso en el estudio de una función, pero al hallar el dominio podemos encontrarnos con puntos donde aparezcan indeterminaciones. Es por ello, que hemos incluido el dominio ahora y no anteriormente.
El dominio de una función se puede definit como todos aquellos valores reales de x que puedo "meter" en la función de manera que la imagen que salga de estos valores sea un número real.. El principal problema está en las restricciones que nos imponen las funciones que componen la función total. La intersección de estas restricciones será el dominio de la función.
Os hemos puesto un ejemplo, que consideramos sencillo, pero en próximas entradas introduciremos ejemplos más complejos, ya que encontrar el dominio de una función puede ser una tarea muy larga y compleja.
Estamos seguros que os será de gran utilidad!
Gracias

Cálculo pH ácidos débiles

Cálculo del pH de ácidos débiles

Hola a tod@s,

En esta entrada hemos colgado un video donde se explica como encontrar el pH de una disolución de un ácido débil. Como vimos en una entrada anterior, los ácidos débiles se diferencian de los fuertes en que se disocian parcialmente y llegan a un equilibrio de reactivos y productos, que viene determinado por una constante de equilibrio denominada constante de acidez (basicidad para las bases). 

Siguiendo la estequiometría de la reacción y las concentraciones de reactivo y producto en el equilibrio, es posible encontrar la concentración de protones para poder encontrar el pH de la disolución final.

Hasta pronto!

Ley de Ampére

Ley de Ampére

Cálculo del campo magnético creado por un hilo infinito

Hola a tod@s,
En esta entrada tenéis un video en el que se explica como calcular el campo magnético creado por un hilo infinito mediante la ley de Ampere. Esta ley nos permite calcular el campo magnético creado por corrientes en conductores que posean simetría. De hecho, es la ley análoga a la ley de Gauss para el cálculo del campo eléctrico.
Como veréis el video no entra en disquisiciones teóricas ni matemáticas de donde aparece esta ley, sino que va directamente a la resolución del problema. La aplicación de la ley es fácil, siempre y cuando tengamos en cuenta alguna consideración, como la dirección y sentido del campo magnético generado por el conductor. Ésto queda explicado en el video de una manera lo más gráfica y didáctica posible.

Gracias

Problema del ascensor (física)

Problema del ascensor

Hola,

Aquí os dejo un video muy interesante de como resolver el problema de una masa dentro de una ascensor que se desplaza a una cierta aceleración. Este tipo de problema es muy común para explicar la tercera ley de Newton así como los sistemas de referncias no inerciales.

Seguro que os gusta!

Indeterminaciones (2)

Aplicación de la regla de l'Hôpital en la resolución de indeterminaciones

Indeterminaciones del tipo 1^∞

^{En esta entrada se ha colgado un video en el que se explica como resolver este tipo de indeterminaciones. Recordemos que todas las indeterminaciones que aparecen en los límites, deben ser resueltas. En este caso, se utilizan las propiedades de los logaritmos para poder encontrar una nueva expresión que permita la aplicación de la regla de l'Hôpital. Pensad, que todas las indeterminaciones, tienes que pasar, para su resolución, por Hôpital, es decir, transformaremos unas indeterminaciones en otras.
Os dejo el video, que seguro os servirá.}

^Gracias!

Dimensión de una aplicación lineal

Cálculo de la dimensión del núcleo e imagen de una aplicación lineal

Hola a tod@s,
En esta entrada hemos colgado un video donde se explica como calcular la dimensión del núcleo e imagen de una aplicación lineal. Al tratarse de un tema de álgebra lineal y, por tanto, ser conceptos tan abstractos, en el video se ha tratado de ir a lo práctico, es decir, qué pasos y conceptos hay que saber para encontrar la dimensión de núcleo e imagen, así como encontrar los vectores que forman el núcleo de una aplicación.
Sé que puede ser difícil intentar entender estos conceptos, pero tal y como os comentamos en el video, no os preocupéis, ya que son conpectos que son de esta manera y no es necesario a este nivel, saber de donde salen y para que sirven. Por desgracia, el álgebra lineal, en sus inicios es así de cruel. Es por ello que el video trata de ser lo más práctico y directo posible.
Espero que os sea de utilidad,

Muchas gracias y hasta la próxima entrada

Cálculo de la matriz de una aplicación lineal

Cálculo de la matriz de una aplicación lineal en una base

Hola a tod@s,
En esta entrada colgamos un video donde se explica como obtener la matriz de una aplicación lineal en una base concreta. El ejemplo toma la base canónica al ser la más sencilla y más preguntada en los exámenes.
El video es muy directo y da los pasos de como obtenerla. En otra entrada colgaremos los fundamentos matemáticos de estos cálculos.

Espero que os sea de utilidad,
Muchas gracias!

Problema tipo optimización

Problema tipo optimización

Os colgamos un video muy interesante sobre como resolver un problema tipo de optimización con una función restricción.
Seguro que os es de mucha utilidad.

Cálculo pH de ácidos y bases fuertes

Cálculo pH de ácidos y bases fuertes

En esta entrada tenéis un video donde se calcula el pH de ácidos y bases fuertes. Se dan ejemplos sencillos para en la próxima entrada poder entender el cálculo de los pH de ácidos y bases débiles.
Recordad que en ácidos y bases fuertes no existe constante de equilibrio ya que no se establece ningún equilibrio por tratarse de una disociación completa.

Concavidad-convexidad y puntos de inflexión

Estudio de una función

Concavidad-convexidad y puntos de inflexión

Hola a tod@s,
En esta entrada os hemos colgado un video con el procedimiento de cálculo de los intervalos de concavidad-convexidad y puntos de inflexión.
Aunque estos puntos son los útlimos dentro del estudio de una función, los hemos introducido aquí ya que en el fondo se tratan de aplicaciones de la derivada.
El video va al grano y facilita el procedimiento paso por paso del cálculo de los intervalos y los puntos de inflexión mediante el ejemplo de una función por todos conocida.
Os recomiendo que cojáis alguna otra función y sigáis el procedimiento, ya que como es necesario llegar a la tercera derivada puede ser complicado.

Espero que os sirva!!!

Regla de l'Hôpital (indeterminaciones)

Regla de l'Hôpital

Resolución de indeterminaciones (1)

Hola a tod@s,

En esta entrada tratamos el tema de la resolución de indeterminaciones a partir de la aplicación de la regla de l'Hôpital, Hay diferentes tipos de indeterminaciones, pero por desgracia hay algunas que no pueden ser resueltas inmediatamente y tenemos que transformarlas de manera que podamos resolverlas utilizando la regla de l'Hôpital.
En el video siguiente se explica como resolver uno de estos tipos de indeterminaciones, el de cero por infinito.
En siguientes videos iremos tratando las indeterminaciones que quedan pendientes.

Espero que os sea de utilidad!
Gracias

Ácidos y bases (1)

Ácidos y bases

En esta entrada tenéis un video con una breve introducción del concepto de ácido y base así como de las ecuaciones de equilibrio que en estos compuestos podéis encontrar.
El video es breve, ya que en el próximo video se resolverán problemas concretos para cada uno de los tipos de ácidos y bases posibles de manera que os sirva como ejemplo patrón para la resolución de todos los problemas de ácido-base.

Gracias

Regla de l'Hôpital

Regla de l'Hôpital

Resolución de indeterminaciones

En esta entrada os cuelgo un video para explicar la regla de l'Hôpital. Esta regla nos permite resolver unos tipos concretos de indeterminaciones, pero al final, todas las indeterminaciones que podáis encontrar en los límites acabarán resolviéndose mediante la regla de l'Hôpital.
Os resumo brevemente que esta regla se aplica en indeterminaciones del tipo 0/0 y infinito/infinito y consiste en derivar numerador y denominador por separado y volver a hacer el límite. Esta regla se puede aplicar tantas veces como sea necesario hasta deshacer la indeterminación.
También os he adjuntado un ejemplo de aplicación, aunque más adelante colgaré otro video con otros tipos de indeterminaciones y su resolución.

Espero que os sea de utilidad.

Ley de Gauss (distribución no homogénea)

Ley de Gauss (distribución no homogénea de carga)

En esta entrada se resuelve un problema en el que la distribución de carga no es homogénea.

El problema propuesto es el siguiente:

Encontrar el campo eléctrico en todos los puntos del espacio de una esfera maciza con la siguiente distribución de carga  

donde r es un punto del espacio y c el radio de la esfera maciza.

Espero que os sea de utilidad!

Aplicaciones de la derivada (y 3bis) recta tangente

Aplicación de la derivada. Cálculo de la recta tangente.

Aunque ya he hecho la entrada del blog correspondiente a este tema, os he colgado un video con otro ejemplo del cálculo de la recta tangente a una curva en un punto.
En este ejemplo he escogido otro tipo de función que no sea polinómica.

Espero que con este video os quede totalmente claro como resolver este tipo de problemas.
Si tenéis cualquier duda podéis hacer un comentario en la misma entrada.
Un saludo!

Aplicaciones de la derivada (y 3) recta tangente

Aplicaciones de la derivada (y 3), cálculo de la recta tangente

En esta entrada explicamos como calcular una recta tangente a una curva en un punto a partir de la derivada.

Para el cálculo de la recta tangente a una curva se parte de la definición geométrica de la derivada. Recordemos que la derivada se define como el límite de un incremento cuando este incremento tiende a cero, es decir, se hace muy muy pequeño.

En este gráfico se representa la definición de la derivada. Lo más importante es que cuando el incremento de x se hace muy pequeño (tiende a cero), lo que se obtiene es la derivada, que a su vez no es más que la pendiente de la recta tangente a la curva.

Y a su vez, la definición geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto. Pero lo que se nos pedirá en los problemas será la recta tangente a la curva en un punto dado.
Para ello podemos utilizar la expresión:

donde a es el punto donde queremos calcular la recta tangente, f(a) es la imagen en la función del punto a y f'(a) es la imagen de la derivada en el punto a.
Aunque la expresión de la recta tangente puede demostrarse, no es necesario entrar en disquisiciones matemáticas para saber de donde podemos obtener la fórmula. Para los que estéis interesados os puedo decir que esta expresión parte de la misma definición de la recta como y=mx+n.

Veamos un ejemplo:

Calcular la recta tangente a la curva 

en el punto x=1.

En primer lugar recordar la expresión de la recta tangente para posteriormente ir sustituyendo cada una de las partes de la expresión.

en este caso a=1, ya que es el punto donde quiero calcular la derivada.
Vamos a por f(a)=f(x=1), donde sólo tenemos que sustituir x=1 en la función original:
y(x=1)=3
El siguiente paso es hacer la derivada:
y'=2x+3
Sustituyendo la x por 1 para obtener f'(1)=5
Ahora hagamos un resumen de los datos que tenemos:
x=1
f(1)=3
f'(1)=5
y sustituimos en la expresión de la recta tangente:
y-3=5(x-1) 
arreglamos la expresión y la recta tangente es:
y=5x-2
veamos ahora gráficamente tanto la curva como su tangente:

Cómo véis en el gráfico se representa la función y su recta tangente en el punto x=1.

Espero que os haya sido de utilidad.

Aplicaciones de la derivada (2) optimización

Hola a tod@s,
En esta segunda entrega de las aplicaciones de las derivadas os cuelgo un video sobre la optimización de funciones. La optimización de funciones nos permite conocer el valor de unas variables, para que la función a optimizar tenga un valor máximo o mínimo. Os he colgado un ejemplo muy simple pero muy didáctico. Lo más importante en un problema de optimización es reconocer las funciones que aparecen en el problema que son la función a optimizar y la función restricción.
Esta función restricción nos permite calcular los extremos de la función a optimizar y se caracteriza porque siempre tiene un valor numérico asociado.
Aquí os dejo el video y os pido me enviéis sugerencias acerca del video si creéis que falta o está mal explicado algún concepto.

Muchas gracias y espero que os sea de utilidad.

Cinemática vectorial

Hola a tod@s,

En esta entrada hemos colgado un video con un ejemplo de cinemática vectorial. Recordad que esta rama de la cinemática trabaja con vectores y a partir de las expresiones vectoriales que se nos dan, tenemos que encontrar las variables restantes.
El ejemplo escogido es muy sencillo, y se facilita un vector velocidad y se pide encontrar tanto el vector posición como la aceleración. En próximas entradas complicaremos el problema, pidiendo componentes de la aceleración, ecuaciones de la trayectoria...hasta completar el problema.

Espero que os sea de utilidad. Si tenéis alguna cuestión acerca del problema podéis hacerla en los comentarios.
Saludos!

Cálculo extremos función (aplicación de la derivada)

En esta entrada os colgamos un primer video con las aplicaciones de la derivada. La primera aplicación importante es el cálculo de extremos (máximos y mínimos) de las funciones.
Este cálculo también se usa en el estudio de una función, ya que necesitamos conocer estos extremos para poderla representar.
Como veréis el video es muy práctico y va al grano, de manera que se exponen los pasos a seguir en el cálculo de los extremos y además incluye un par de ejemplos de funciones sencillas.

Espero que os sea de utilidad!

Derivadas

Hola a tod@s,
En esta entrada colgamos un video en el cual se hace un resumen rápido de las reglas de derivación. este resumen no pretende ser un curso de derivadas sino sólo refrescar la derivación.

Regla de Markovnikov

Hola a tod@s,
Aquí os dejo un video sobre la regla de Markovnikov de halogenación de alquenos. Esta regla es muy importante, ya que esta reacción implica la rotura del doble enlace del alqueno y su halogenación.
En otra entrada trataremos la regla antiMarkovnikov.
Espero que os sea de utilidad.

Aplicaciones lineales

En esta entrada vamos a hacer un problema en el que se pide demostrar que una aplicación es aplicación lineal.
En primer lugar es necesario recordar que es una aplicación lineal. Es una aplicación entre dos espacios vectoriales, de manera que se introduce un vector y a través de esta aplicación se obtiene otro vector. Para que la aplicación sea lineal, es necesario que cumpla las propiedades de la suma de vectores y el producto por un escalar.
Pongamos un ejemplo:
Tenemos una aplicación lineal definida por:

¿Qué quiere decir? Si introducimos vectores de tres dimensiones, mediante la operación de la aplicación obtenemos otro vector de tres componentes. Pongamos por ejemplo el vector (1,2,3):
por la aplicación tenemos que:
f(1,2,3)=(1+2,2.1-3,1+2+3)=(3,-1,6)
Es decir, la imagen del vector (1,2,3) en la aplicación es el (3,-1,6).
Pero fundamentalmente lo que nos van a pedir es que demostremos que se trata de una aplicación lineal. Para ello hemos confeccionado este video en el cual explicamos paso a paso como demostrarlo.

Efecto conjugativo

En esta entrada hablaremos del efecto conjugativo en la química orgánica. Este efecto aparece en moléculas con enlaces múltiples y consiste en desplazamientos de la cargas eléctricas producidos por la capacidad de atracción o repulsión de los diferentes grupos funcionales. A este efecto también se le llama efecto mesómero o resonancia. A los grupos atractores de nubes electrónicas (cargas electrónicas) se les dice que tienen un efecto -M, mientras que los grupos que ceden electrones tienen efecto +M.
Tal y como habíamos comentado en la entrada anterior referente al efecto inductivo, tendremos grupos que tendrán efecto +M y otros -M. Recordar que al tratarse de un efecto que se da en enlaces múltiples, al referirse a la nube de electrones que cambia de posición se habla de la nube del enlace pi.
Hay numerosas tablas que dan la lista de grupos con efecto +M y -M. Aquí daremos algunos ejemplos.
efecto +M: -SR, -NHR, -OH, NH2, -I, -Cl, -F
efecto -M: -CN, COOH, CHO, -SH
El anillo aromático puede presentar los dos tipos de efectos.
Veamos un ejemplo:

en el caso del cloruro de vinilo, se puede ver como podemos desplazar dos electrones son aparear que tiene el Cl, para formar un doble enlace entre el Cl y el C adyacente, mientras que el doble enlace presente en la formaI desaparece, de manera que aparece un exceso de carga negativa en el otro C. Las formas I y II son formas resonantes y es importante que veáis que de hecho lo que ha pasado es un movimiento del doble emlace, pero cuidado, este desplazamiento implica la aparición de excesos de carga positiva y negativa en otras partes de la molécula.
En la siguiente entrada explicaremos a fondo el concepto de resonancia y como encontrar las diferentes formas resonantes.